令和7年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2

M/M/1待ち行列モデル における平均待ち時間を求める公式を用いて計算します。

システムの利用率を $\rho$、平均処理時間（平均サービス時間）を $T_s$ とすると、平均待ち時間 $W$ は以下の式で表されます。
$$W = \frac{\rho}{1 - \rho} \times T_s$$

問題文の条件より、平均処理時間 $T_s = T$ 秒であり、平均待ち時間 $W$ が $T$ 秒以上となる条件を求めます。

$$W \ge T$$
$$\frac{\rho}{1 - \rho} \times T \ge T$$

両辺を $T$（$T > 0$）で割ります。

$$\frac{\rho}{1 - \rho} \ge 1$$

待ち行列が安定している状態ではシステムの利用率 $\rho < 1$ であり、$1 - \rho > 0$ となるため、両辺に $1 - \rho$ を掛けます。

$$\rho \ge 1 - \rho$$
$$2\rho \ge 1$$
$$\rho \ge 0.5$$

したがって、システムの利用率 $\rho$ が 0.5（50%）以上 となったときに、平均待ち時間が $T$ 秒以上となります。

各選択肢の解説

• ア 33: 利用率が約33%（$\rho = 1/3$）の場合、平均待ち時間は $\frac{1/3}{1 - 1/3} \times T = 0.5T$ 秒となり、$T$ 秒未満のため誤りです。
• イ 50: 利用率が50%（$\rho = 0.5$）の場合、平均待ち時間は $\frac{0.5}{1 - 0.5} \times T = T$ 秒となり、これが $T$ 秒以上となる最小の利用率であるため 正解 です。
• ウ 67: 利用率が約67%（$\rho = 2/3$）の場合、平均待ち時間は $\frac{2/3}{1 - 2/3} \times T = 2T$ 秒です。$T$ 秒以上という条件は満たしますが、「少なくとも何%以上」という問いに対する答えとしては不適切です。
• エ 80: 利用率が80%（$\rho = 0.8$）の場合、平均待ち時間は $\frac{0.8}{1 - 0.8} \times T = 4T$ 秒です。こちらも $T$ 秒以上にはなりますが、最小の利用率ではないため誤りです。