令和4年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問1

$a$ を2進数で表現すると $n$ ビットであるとき、$a$ の取り得る値の範囲は以下のようになります。

$$2^{n-1} \le a < 2^n$$

$b = a^2$ であるため、各辺を2乗して $b$ の取り得る値の範囲を求めます。

$$(2^{n-1})^2 \le a^2 < (2^n)^2$$
$$2^{2n-2} \le b < 2^{2n}$$

この不等式から、$b$ の値は $2^{2n}$ より小さいため、整数の場合の最大値は $2^{2n} - 1$ となります。
2進数で表現したときの桁数（ビット数）は、値が $2^k - 1$ 以下のときに最大 $k$ ビットとなります。したがって、$b$ を2進数で表現したときの最大のビット数は $2n$ となります。

各選択肢の解説

• ア（$n+1$）: 誤り。これは $a$ を2倍（$2a$）したときの最大ビット数です。
• イ（$2n$）: 正解。上記計算の通り、$b$ の最大ビット数は $2n$ となります。
• ウ（$n^2$）: 誤り。元のビット数を2乗するのではなく、指数法則により $2 \times n$ となるのが正しい計算です。
• エ（$2^n$）: 誤り。これは最大値の式の一部に関わる形ですが、ビット数そのものではありません。