令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問題 問2

テクノロジシステム構成基礎理論性能評価・キャパシティ確率・統計・待ち行列

ATM（現金自動預払機）が 1 台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店には ATM を 1 台設置する。統合後の ATM の平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間は M/M/1 の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATM を 1 台に統合しても十分に処理できるものとする。

〔条件〕

  1. 統合後の平均サービス時間：TST_S
  2. 統合前の ATM の利用率：両支店とも ρ\rho
  3. 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計
解答・解説

正解: エ. 2ρ1−2ρ×TS\frac{2\rho}{1-2\rho}\times T_S

M/M/1の待ち行列モデルにおける平均待ち時間（サービス時間を含まない）の公式は、利用率と平均サービス時間を用いて以下のように表されます。
平均待ち時間=利用率1−利用率×平均サービス時間 \text{平均待ち時間} = \frac{\text{利用率}}{1 - \text{利用率}} \times \text{平均サービス時間}

問題文の条件より、統合後の式に代入する値を求めます。

  • 統合後の利用率: 利用率は「到着率（単位時間あたりの利用者数）×\times 平均サービス時間」で計算されます。統合前の1支店あたりの利用率が ρ\rho であり、条件3より統合後の利用者数は2支店の合計（2倍）になるため、到着率も2倍になります。したがって、統合後の利用率は 2ρ2\rho となります。
  • 統合後の平均サービス時間: 条件1より、TST_S です。

これらを公式に当てはめると、統合後の平均待ち時間を求める式は以下のようになります。
2ρ1−2ρ×TS \frac{2\rho}{1 - 2\rho} \times T_S
したがって、エ が正解です。

各選択肢の解説

  • ア ρ1−ρ×TS\frac{\rho}{1-\rho}\times T_S
    統合前の1つの支店における平均待ち時間を表す式であり、誤りです。
  • イ ρ1−2ρ×TS\frac{\rho}{1-2\rho}\times T_S
    分子の利用率が統合前（ρ\rho）のままになっており、誤りです。分子には統合後の利用率である 2ρ2\rho を用いる必要があります。
  • ウ 2ρ1−ρ×TS\frac{2\rho}{1-\rho}\times T_S
    分母の利用率が統合前（ρ\rho）のままになっており、誤りです。分母には統合後の利用率である 2ρ2\rho を用いる必要があります。
  • エ 2ρ1−2ρ×TS\frac{2\rho}{1-2\rho}\times T_S
    正解です。公式の利用率の部分に、統合後の利用率である 2ρ2\rho が正しく代入されています。

Spineチーム