平成 30 年度 秋期 システムアーキテクト試験 午前Ⅱ 問題 問19

正解は イ です。

解法のポイント

マルチプロセッサの性能 $P$ を表す式において、CPUの台数 $n$ を限りなく大きくしたとき（$n \to \infty$）の極限値を求めることで、性能 $P$ の上限を計算できます。

1. 与えられた式の変形
   問題文で与えられた性能 $P$ の式は以下の通りです。
   $$P = \frac{n}{1 + (n - 1)a}$$
   分母を展開して $n$ について整理します。
   $$P = \frac{n}{(1 - a) + na}$$
   分子と分母の両方を $n$ で割ると、次のようになります。
   $$P = \frac{1}{\frac{1 - a}{n} + a}$$

2. $n$ を限りなく大きくしたときの上限の計算
   $a = 0.1$ を代入すると、式は以下のようになります。
   $$P = \frac{1}{\frac{0.9}{n} + 0.1}$$
   ここで、$n$ を限りなく大きくすると、$\frac{0.9}{n}$ は $0$ に近づきます（$\lim_{n \to \infty} \frac{0.9}{n} = 0$）。
   したがって、性能 $P$ の上限は次の値に収束します。
   $$P = \frac{1}{0 + 0.1} = \frac{1}{0.1} = 10$$

（別解として、$n = 10000$ などの十分に大きな値を実際に代入してみることでも、$P$ が $10$ に近づくことを確認できます。）

各選択肢の解説

• ア（5）: 誤りです。上限が $5$ になるのは、オーバヘッドを表す定数が $a = 0.2$（$\frac{1}{0.2} = 5$）の場合です。
• イ（10）: 正解です。$a = 0.1$ のとき、$n$ をどれだけ大きくしても性能 $P$ は $\frac{1}{a} = \frac{1}{0.1} = 10$ を超えることはありません。
• ウ（15）: 誤りです。$a = 0.1$ の場合、性能 $P$ の上限は $10$ となるため、$15$ には達しません。
• エ（20）: 誤りです。上限が $20$ になるのは、オーバヘッドを表す定数が $a = 0.05$（$\frac{1}{0.05} = 20$）の場合です。