令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問題 問2

集合の演算規則に関する問題です。
与えられた式 $\bar{A} \cap \bar{B}$ と等しい式を選択肢から探します。

差集合の定義
$X - Y$ は、集合 $X$ に含まれ、かつ集合 $Y$ に含まれない要素の集合です。これは積集合と補集合を用いて $X \cap \bar{Y}$ と表すことができます。

この定義を各選択肢に適用して確認します。

各選択肢の解説

• ア：正解です。差集合の定義より、$\bar{A} - B = \bar{A} \cap \bar{B}$ となり、求める式に一致します。
• イ：誤りです。$(\bar{A} \cup \bar{B}) - (A \cap B)$ について考えます。ド・モルガンの法則により $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$ です。したがって、$\overline{A \cap B} - (A \cap B) = \overline{A \cap B} \cap \overline{A \cap B} = \overline{A \cap B}$ となり、これは $\bar{A} \cup \bar{B}$ と等しくなります。
• ウ：誤りです。$S - A = \bar{A}$、$S - B = \bar{B}$ であるため、$(S - A) \cup (S - B) = \bar{A} \cup \bar{B}$ となります。
• エ：誤りです。$S - (A \cap B)$ は $A \cap B$ の補集合を表すため $\overline{A \cap B}$ となり、これも $\bar{A} \cup \bar{B}$ と等しくなります。