令和3年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問14

システム全体の 稼働率 を式で表し、その特徴からグラフを特定します。

システムの稼働率の計算

1. 直列部分の稼働率
   システムの構成図を見ると、稼働率 $x$ の装置が2つ直列に接続された構成が基本単位となっています。この部分が稼働する確率は $x \times x = x^2$ です。

2. システム全体の稼働率 $f(x)$
   上記で求めた稼働率 $x^2$ の直列部分が、さらに2つ並列に接続されています。並列システムが稼働する確率は $1 - (\text{すべて故障する確率})$ で求められます。
   $$f(x) = 1 - (1 - x^2)^2$$
   これを展開して整理します。
   $$f(x) = 1 - (1 - 2x^2 + x^4)$$
   $$f(x) = 2x^2 - x^4$$

グラフの傾向の確認

求めた $f(x) = 2x^2 - x^4$ と、$y = x$ （破線）の大小関係を確認するために、具体的な数値を代入して比較します。

• $x = 0.5$ の場合
  $$f(0.5) = 2(0.5)^2 - (0.5)^4 = 2 \times 0.25 - 0.0625 = 0.4375$$
  $0.4375 < 0.5$ となるため、$x$ が小さい区間では $f(x)$ のグラフは $y = x$ の破線より 下 になります。
• $x = 0.9$ の場合
  $$f(0.9) = 2(0.9)^2 - (0.9)^4 = 1.62 - 0.6561 = 0.9639$$
  $0.9639 > 0.9$ となるため、$x$ が $1$ に近い大きい区間では $f(x)$ のグラフは $y = x$ の破線より 上 になります。

最初は $y = x$ より下にあり、途中で交わって $y = x$ より上になるグラフは エ です。

各選択肢の解説

• ア: 区間 $0 < x < 1$ において常に $y = x$ より上を通っているため誤りです。
• イ: 区間 $0 < x < 1$ において常に $y = x$ より下を通っているため誤りです。
• ウ: 最初は $y = x$ より上にあり、途中で $y = x$ より下に切り替わっているため誤りです（実際のシステムの傾向と逆になっています）。
• エ: 最初は $y = x$ より下にあり、途中で $y = x$ より上に切り替わっており、$f(x) = 2x^2 - x^4$ の計算結果の傾向と一致するため正解です。